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本文首先探讨了二次函数动点问题，通过具体的例子和图示分析了动点在二次函数图像上的运动轨迹，展示了对二次函数图像的深入理解。其次，老师分享了判定和求解直角三角形存在性的方法，从几何角度出发，介绍了如何利用三角形的性质和定理判断直角三角形的存在性，并提供了求解直角三角形的具体步骤，让读者可以更加清晰地理解这一问题。本文不仅提供了数学问题的解决方法，还通过具体例子和图示帮助读者更深入地理解数学知识。
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判定和求解直角三角形的存在性是初中二次函数动点问题中的经典题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三复习备考的同学们带来帮助。
例题
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax^2+bx+6（a≠0）相交于A（1/2，5/2）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标。
1、求抛物线的解析式
根据题目中的条件：B（4，m）在直线y=x+2上，则当x=4时，m=6，即B点坐标为(4,6)；
根据题目中的条件和结论：A（1/2，5/2）和B（4，6）在抛物线y=ax^2+bx+6上，则a=2，b=-8；
所以，抛物线的解析式为y=2x^2-8x+6。
2、求线段PC的最大值
设P点坐标为（d,d+2）
根据题目中的条件：过点P作PC⊥x轴交抛物线于点C，则C点横坐标=d；
根据题目中的条件和结论：抛物线的解析式为y=2x^2-8x+6，C点横坐标=d，则当x=d时，C点纵坐标=2d^2-8d+6；
根据结论：P点坐标为（d,d+2），C点纵坐标=2d^2-8d+6，则PC=d+2-(2d^2-8d+6)=-2d^2+9d-4；
把PC=-2d^2+9d-4看成关于d的二次函数，用配方法求解PC的最大值
PC=-2d^2+9d-4=-2（d-9/4）^2+9/2
当d=9/4时，PC取到最大值9/2，此时P点坐标为（9/4,17/9）；
根据结论：A（1/2，5/2），B（4，6），P（9/4,17/9），则1/2<9/4<4，即P点在线段AB上，符合题目的条件；
所以，符合条件的P点坐标为（9/4,17/9）。
3、求△PAC为直角三角形时点P的坐标
（1）当A为直角顶点时
设P点坐标为（d,d+2）
根据结论：C点坐标为（d,2d^2-8d+6），A（1/2，5/2），则直线AC的斜率k=(2d^2-8d+6-5/2)/(d-1/2)；
根据题目中的条件：直线AB的解析式为y=x+2，则直线AB的斜率=1；
根据题目中的条件和结论：互相垂直的两条直线的斜率乘积为-1，直线AC⊥直线AB，直线AC的斜率k=(2d^2-8d+6-5/2)/(d-1/2)，直线AB的斜率=1，则(2d^2-8d+6-5/2)/(d-1/2)=-1，可求得d=3或d=1/2；
当d=1/2时，P点与A点重合，不符合题目中的条件，舍去；
当d=3时，P点坐标为（3，5）；
根据结论：A（1/2，5/2），B（4，6），P（3，5），则1/2<7/2<4，即P点在线段AB上，符合题目的条件。
（2）当P为直角顶点时
根据题目中的条件：直线PC⊥x轴，则∠PDE=90°；
根据题目中的条件和结论：∠EPD+∠PDE+∠PED=180°，∠PDE=90°，则
∠EPD=90°-∠PED<90°；
所以，不存在符合条件的P点。
（3）当C为直角顶点时
根据两直线平行的判定和题目中的条件：垂直于同一条直线的两直线平行，直线AC⊥直线PC，直线PC⊥x轴，则AC∥x轴；
根据结论：AC∥x轴，A（1/2，5/2），则C点与A点关于抛物线的对称轴对称，即C点纵坐标=5/2；
根据结论：抛物线的解析式为y=2x^2-8x+6，C点纵坐标=5/2，则当y=5/2时，x=7/2或x=1/2，即C点坐标为（7/2,5/2）；
根据结论：C点坐标为（7/2,5/2），则P点横坐标=7/2；
根据题目中的条件和结论：直线AB的解析式为y=x+2，P点横坐标=7/2，则当x=7/2时，y=11/2，即P点坐标为（7/2，11/2）；
根据结论：A（1/2，5/2），B（4，6），P（7/2，11/2），则1/2<7/2<4，即P点在线段AB上，符合题目的条件；
所以，符合条件的P点坐标为（3，5）或（7/2，11/2）。
结语
判定并求解直角三角形的存在性是二次函数动点问题的常考题型，必须根据直角顶点考虑多种可能性，并分别进行讨论。求解过程必须紧扣题目中的条件，充分利用直角三角形中边与角的特殊关系，并转换为特殊点之间的坐标关系，再结合二次函数的性质，才能轻松应对这类题型，为数学中考取得高分助力加油！
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