当你凝视夜空时，空间似乎向四面八方无限延伸。这是我们对宇宙的心理模型，但它不一定是正确的。毕竟，有一段时间，每个人都认为地球是平坦的，因为我们的星球的曲率太微妙以至于无法检测到，而球形的地球却是不可思议的。
今天，我们知道地球的形状像一个球体。但是我们大多数人很少考虑宇宙的形状。正如球体提供了一个平面地球的替代品，其他三维形状也提供了“普通”无限空间的替代品。
关于宇宙的形状，我们可以提出两个相互独立但又相互关联的问题。一个是关于它的几何形状：对角度和面积等细节的局部测量。另一个是关于它的拓扑结构：如何将这些局部片段缝合在一起形成一个总体形状。
宇宙学证据表明，我们能看到的那部分宇宙是平滑的。空间的局部结构在每个点和每个方向上看起来都是一样的。只有三种几何图形符合这种描述：平面、球面和双曲线。让我们来探索这些几何图形，一些拓扑方面的考虑，以及宇宙学证据说明哪些形状最能描述我们的宇宙。
平面几何图形
这是我们在学校学的几何。三角形的内角和为180度，圆的面积为πr^2。平面三维形状最简单的例子是普通的无限空间——数学家们称之为欧几里得空间——但也有其他的平面形状需要考虑。
欧几里得空间
这些形状很难想象，但是我们可以通过二维而不是三维来建立一些直觉。除了普通的欧几里得平面外，我们还可以通过切割平面的某些部分并将其边缘粘在一起来创建其他平面形状。例如，假设我们剪下一张长方形的纸，把它的对边粘起来。在顶部和底部边缘贴上胶带，我们就得到了一个圆柱体：
接下来，我们可以把左右两边粘起来，得到一个“甜甜圈”(数学家们称之为圆环面)：
现在，你可能会想，“这在我看来并不平坦。你是对的。我们在描述平面环面如何工作时做了一点手脚。如果你真的想用这种方法在一张纸上做出一个环面，你会遇到困难。制作圆柱体很容易，但是用胶带绑住圆柱体的两端是行不通的：纸会沿着环面的内圈被压皱，而沿着外圈被拉长的距离也不够。你得用一些有弹性的材料来代替纸。但是这种拉伸扭曲了长度和角度，改变了几何形状。
在普通的三维空间中，没有办法在不扭曲平面几何形状的情况下，用平面材料构建一个真实的、平滑的物理环面。但我们可以抽象地推断出生活在平面环面上的感觉。
想象你是一个二维的生物，它的宇宙是一个平面的环面。因为这个宇宙的几何结构来自于一张平面的纸，我们习惯的所有几何事实都和平常一样，至少在小范围内是这样的：三角形的内角和是180度，等等。但我们通过切割和粘贴对拓扑结构所做的改变意味着，生活在环面上的体验将与我们过去习惯的感觉大不相同。
对于初学者来说，环面上有一些笔直的路径可以绕一圈，然后回到它们开始的地方：
这些路径在一个扭曲的环面上看起来是弯曲的，但是对于平面环面上的居民来说，他们感觉是直的。因为光是沿着直线传播的，如果你直视这些方向中的一个，你会从后面看到你自己：
在最初的那张纸上，你看到的光好像是从你身后经过，直到它击中左手边，然后又出现在右手边，就好像你在玩一个环绕式的电子游戏：
同样的思考方法是，如果你(或一束光)穿过四个边中的一个，你会出现在一个新的“房间”里，但实际上是同一个房间，只是从一个新的有利位置看过去。当你在这个宇宙中漫步时，你可以穿越到无数个你原来房间的复制品中。
这意味着你也可以从不同的方向看到无限多不同的自己。这是一种大厅的镜子效果，除了你的复制品不是反射：
在"甜甜圈‘0上，它们对应着许多不同的回路，通过这些回路，光可以从你身上回到你身上：
类似地，我们可以通过粘住立方体或其他盒子的相反面来构建一个平面的三维环面。我们不能把这个空间想象成普通无限空间中的一个物体——它根本就不适合——但我们可以抽象地推断出它里面的生命。
就像二维环面中的生命就像生活在一个由无数个相同的矩形房间组成的二维数组中一样，三维环面中的生命就像生活在一个由无数个相同的立方房间组成的三维数组中一样。你会看到无数个你自己的复制品：
三维环面只是10个不同的平面有限世界中的一个。也有平面的无限世界，如三维模拟的无限圆柱。在每个世界里，都有不同的镜厅阵列供您体验。
我们的宇宙是这些其他扁平形状之一吗？
当我们向太空望去，我们看不到无数个我们自己的复制品。即便如此，要排除这些平面形状还是相当困难的。首先，它们都具有与欧几里得空间相同的局部几何性质，因此没有任何局部测量可以区分它们。
如果你确实看到了自己的复制品，那么那个遥远的图像就会显示出你(或者你的星系)在遥远过去的样子，因为光线要经过很长时间才能到达你那里。也许我们在那里看到的是我们自己无法辨认的复制品。更糟糕的是，不同的自我通常会离你有不同的距离，所以他们中的大多数看起来都不一样。也许它们离我们太远了，我们根本看不见。
为了克服这些困难，天文学家们通常不是寻找我们自身的复制品，而是寻找我们所能看到的最遥远事物的重复特征：大爆炸后不久遗留下来的宇宙微波背景辐射(CMB)。在实践中，这意味着在CMB中寻找具有匹配的热点和冷点模式的圆对，这表明它们实际上是从两个不同的方向看到的同一个圆。
2015年，天文学家利用普朗克太空望远镜的数据进行了这样的研究。他们对数据进行了梳理，寻找我们期望在平面三维环面或另一种称为平板的平面三维形状中看到的相匹配的圆，但他们没有找到。这意味着，如果我们生活在一个环面上，它可能是如此之大，以至于任何重复的模式都在可观测的宇宙之外。
